西周初年，周公询问商高（商人“高”）如何天文测量，商高的回答是“圆从方来（参考割圆术），方从矩来，矩根据乘除计算而来”。其中，“乘除计算”是根据勾三股四弦五而来，即勾股定理。

由于当时宇宙观是天圆地方，且有“影差一寸、地差千里”这把“量天尺”，因此可以勾三股四弦五测量太阳高度、宇宙长度等，虽然结论肯定不对，但却体现了古人的智慧。比如下图，有兴趣的翻阅笔者此前文章《周朝“宇宙模型”：如何算出日高8万里，宇宙直径81万里？》。

关于勾股定理，相信不少人认为商高或中国古人没有论证，只是知道“勾三股四弦五”，不如古希腊的毕达哥拉斯。其实，《周髀算经》并有“勾股各自乘，并而开方除之”等记载，已经论证了勾股定理，上个世纪台湾学者李国伟、陈良佐等都发表论文，考证商高已经证明勾股定理。

当然，本文重点谈的不是商高有没有论证这一话题，而是中国人为何会发现“勾股定理”，或者如何会发现“勾三股四弦五”，考古发现超乎想象。搞清楚这一渊源，再看西方毕达哥拉斯定理由来，就会发现西方历史实在太过神奇。

任何一项伟大的发明，在出现之前，往往都有漫长的铺垫，勾股定理也是如此。

与古埃及苏美尔不同，中国地理气候是“四季分明”，对农业有很多弊端，比如弊端之一是播种期很短，转瞬即逝，一旦错过，来年就可能面临饥荒。因此，不是想不想、愿不愿的问题，而是现实逼迫古人要掌握农时。

在长期的天文观测中，古人发现天象与季节存在关系，比如北斗星的斗柄转向与季节、大火星（又称龙星，非今天的火星，如七月流火意为天气转凉）变化与季节存在联系等等，于是通过观测星象确定农时，即我们熟知的“观象授时”，如此也就有了天文学。

但星象只能晚上观测，如何在白天“观象”呢？对此，古人发明了“立表测影”，即竖立一根“表”，与之垂直的圭尺放置于地面，观测日影长短。

其中，周髀算经中指出“表”即“股”、即“髀”，而“股”就是腿骨。腿骨支撑人站立，表示起初是以人为尺度，即以人为立表测影之“表”，史记记载大禹就曾“身为度”。立表测影之“表”，由来应是股—髀—表，不同时代不同称呼。

据此，正午日影照射“表”或“股”，就在圭尺上“勾”出日影，不同季节日影长度不一，古人据此判断季节。但与此同时，这也构成了一个直角三角形，其中垂直的叫“股”，与“股”垂直的日影可叫“勾”，这就是勾股定理中的“勾股”由来。由于“立表测影”不仅能观测季节，后来也演变为日晷，观测白天各个时辰，所以后来手表才被叫做手表。

从立表测影到勾三股四弦五，虽然没有直接的考古发现，但考古发现表明，中国古人很早就知道直角三角形，然后在漫长的天文探索实践中，发现勾三股四弦五的规律。对此，不妨看看以下三个考古发现。

首先，三角形是一个特殊的几何形状，自然界中不存在直接的三角形，因此必然是人造的形状。以考古看，距今9000余年的贾湖遗址中出土夹炭红陶三足盆形鼎，此后中国遗址中三足器等数不胜数，甚至等腰三角形的考古发现。因此，史前中国人对三角形已有一定认知。

《叶家山出土三足青铜器的地域特征分析》中，指出湖北随州叶家山墓地出土的青铜器上，“三个顶点组成的三角形为等腰三角形”。从史前大量三足器等来看，叶家山出现等腰三角形绝非偶然，背后折射的是古人对此已有一定探索。

其次，湖北秭归柳林溪遗址，距今7000年以上，其中出土的陶圆盘上，显示的是原始洛书，也就是九宫图前身。立表测影除了测时之外，还能辨方正位，太阳东升西落，日影就指出东西方向，与之垂直的是南北。反过来说，这说明当时已有立表测影，应该已经关注直角三角形。

柳林溪之后，河南濮阳西水坡遗址也有立表测影证据，山西陶寺遗址更进一步。其中，陶寺遗址出土的圭尺表明当时已有20节气，可观测20个节气的观象台布置更是需要精确计算。

第三，甘肃大地湾仰韶晚期，出土了一组质量标准器，其中条形盘容积约为264.3立方厘米，铲形抄容积约为2650.7，箕形抄约为5288.4立方厘米，深腹罐容积约为26082.1。显然，大地湾先民必然已经掌握十进制，也掌握一定几何与计算知识，否则很难造出如此质量器。

因此，至少在7000年前，中国古人在立表测影实践中，应该已经关注直角三角形。长期立表测影实践，长期天文观测确定农时的需求，且是在中国广大区域内的实践，最终能发现“勾三股四弦五”符合认知逻辑。况且，商高生活在商末周初，相距柳林溪遗址有4000年，这么长时间才探索出“勾三股四弦五”无疑更显真实。

与中国勾股定理由来不同，“毕达哥拉斯定理”的由来，实在.......太神奇了！

无论对三角形、还是对直角三角形，中国人很早就有认知，勾股定理的出现更有漫长的历史。但西方问题有二：其一，很晚才认识到三角形；其二，运用勾股数组却很早。

古埃及认识到三角形，据说是因为需要“精确”分配被尼罗河泛滥的土地。既是精确分配土地，理应进入阶级社会，且发展到一定程度，以古埃及历史看，大概距今5000年左右。以考古看，苏美尔认识到三角形的时间，大概是距今5300年，此前没有带有三角形痕迹的实物出土。

接下来，就是见证奇迹的时候了。西方历史说：4500年前的古埃及，在建金字塔与测量土地时已运用了勾股定理；5000年前的苏美尔，已经知道和应用勾股定理，还知道许多勾股数组，“普林顿322”的泥板文书上还有很多勾股数。

也就是说，此前连三角形都不知道的古埃及、苏美尔，仿佛突然吃了“仙丹”一样，然后就什么都懂了，压根就不需要什么探索过程。以中国探索勾股定理的历史来看，古埃及或苏美尔大概是看一眼、想几分钟，然后就知道勾股定理了，神不神？

按照西方历史描述，公元前六世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理，于是西方称这个定理为毕达哥拉斯定理。

毕达哥拉斯严谨吧，但他认为圆形最完美，于是“觉得”地球是圆形的，于是以理性著称的古希腊科学家纷纷“觉得”毕达哥拉斯的“觉得”很合理。毕达哥拉斯又严谨、又感性，既科学又文艺，西方叙事中的类似科学家层出不穷！

参考资料：《周髀算经》等