尼科洛-塔尔塔利亚（左）和杰罗拉莫-卡达诺（右）

文艺复兴时期两位数学家的故事，他们的嫉妒、阴谋和争论导致了一项发现。

法比奥-托斯卡诺著，阿图罗-桑加利译

尼科洛-塔尔塔利亚（Niccolò Tartaglia）是一位雄心勃勃的教师，他拥有一个秘密公式--打开一个看似无法解决、已有两千年历史的数学难题的钥匙。为了防止其他数学家窃取，他用诗歌的形式写下了这个公式。

杰罗拉莫-卡达诺是一位医生、天才学者，也是臭名昭著的赌徒，他为了知道塔塔利亚的秘密，不惜使用奉承甚至欺骗的手段。在这个时代，数学家们在户外热情的观众面前进行智力决斗，互相挑战，他们之间的争斗关系将永远改变数学的历史。

十六世纪的数学决斗历史悠久，程序严谨，对决斗者的社会地位有着持久的影响。决斗对数学史的发展也产生了巨大的影响。

决斗时，一位数学家或学者会向另一位数学家或学者发送一份在规定时间内要解决的问题清单--“挑战铠甲”--之后，接受者会向对手提出另一套问题。按照传统，如果双方意见不一致，则应举行公开辩论，在法官、公证人、政府官员和众多观众面前讨论有争议的问题和解决方案。在这种对决中，脾气暴躁、以人身攻击取代科学论证是常有的事。不可否认，决斗的赌注可能非常大：公开数学决斗的获胜者--无论谁解决了最多的问题--不仅获得了荣誉和声望，还可能获得奖金、新的付费弟子、教席的任命（或确认）、薪水的增加，以及通常高薪聘请的专业人员。另一方面，落选者未来的职业生涯则有可能受到严重影响。

1535 年初，安东尼奥-玛丽亚-菲奥开始与尼科洛-塔尔塔利亚争论，向他挑战按照当时的规则进行数学决斗。

他向塔尔塔利亚提出了 30 个问题，塔尔塔利亚则向挑战者提出了另外 30 个问题。按照惯例，谁在规定时间内回答的问题最多，谁就是赢家。

1535 年 2 月 22 日，菲奥和塔尔塔利亚将各自的问题清单委托给威尼斯的公证人伊阿科莫-赞贝里（Iacomo Zambelli），并约定在四五十天后交出答案。比赛的赌注是什么？首先是荣誉和名声，然后是在酒馆为每个未解之题举行的豪华晚宴，由在对手的问题前投降的不幸参赛者买单。

在随后的几个月里，威尼斯挑战赛的回声传遍了这座城市的每一个角落，并将比赛结果公之于众： 塔塔利亚在几个小时内解决了对手提出的全部 30 个问题，简直是对菲奥的羞辱，而后者却连尼科洛的一个问题都答不上来（据说胜利者宽宏大量地放弃了晚餐权）。

事实上，更令人吃惊的是菲奥向塔尔塔利亚挑战的话题。有关这场比赛的细节慢慢从威尼斯流传出去，最终传到了塔塔利亚的出生地布雷西亚，导致许多朋友向他求证决斗的细节。其中一位熟人，不朽的梅塞尔-祖安内-德-托尼尼-达-科伊（Messer Zuanne de Tonini da Coi）写道：

许多天前，我听说您与安东尼奥-马里亚-菲奥大师进行了一场挑战，最终你们达成了一致：他向您提出 30 个真正不同的问题，这些问题都要盖章，并由公证人伊阿科莫-迪-赞贝里大师保管；同样，您也要向他提出另外 30 个真正不同的问题。你们就这样做了，每个人都有四五十天的时间来解决上述问题；你们还规定，在这段时间结束时，谁解决的问题最多，谁就能获得荣誉，此外，你们还可以为每个问题支付小额奖金。在布雷西亚，有人向我报告并证实，你在两个小时内就解决了他所有的 30 道难题，这让我难以相信。

塔尔塔利亚回答说：“你说的都是真的。”他马上解释了他是如何以及为什么能够完成这一壮举，这一壮举是他科学生涯的高峰，也是代数学历史上的一个决定性转折点。

根据这一记载，尼科洛-塔尔塔利亚于 1535 年 2 月 12 日发现了 x3 + bx = c 型三阶方程的求解公式，几年后，这个公式被证明对求解任何三次方程都至关重要。这是一项划时代的非凡成果：自巴比伦时代以来第一个真正的代数发现，为代数学开辟了无限的新天地，被后人誉为十六世纪最重要的数学成果。

不过，需要提醒的是： 文艺复兴时期的数学决斗遵守君子协定：竞争者不能向对手提出自己不知道如何解决的问题。因此，如果菲奥尔有信心向塔尔塔利亚提出前面提到的那种涉及三次方程的问题，那么这位威尼斯的阿巴科数学大师一定比他的布雷斯基对手更早发现了这个致命的公式--除非菲奥尔玩得不公平，试图用塔尔塔利亚自己无法解决的问题来恐吓他，就像五年前托尼诺-达-科伊（Tonino da Coi）所做的那样。另一方面，如果我们排除了这种可能性，那么一位仅以精通会计计算而闻名的教师--更重要的是，他对代数抽象概念并没有特别的修养或从容不迫的态度--怎么会有能力完成如此非凡的任务呢？

塔塔利亚对菲奥尔知识能力的看法--他不具备科学知识，只有丰富的经验--与曾向菲奥尔学习的德国会计师马特豪斯-施瓦茨（Matthäus Schwarz）的看法一致。一旦确定菲奥缺乏自己找到公式所需的教育和丰富的头脑，并假设他在向塔塔利亚挑战时已经知道了公式，那么他是在什么情况下获得这一知识的呢？尤其是，三十年前向他揭示这个秘密的 “伟大数学家 ”是谁，因此他应该被认为是这一非凡发现的功臣？这样的突破怎么可能一直秘而不宣？难道只有菲奥从这位神秘人物的秘密中获益？为什么塔尔塔利亚在最初的犹豫之后，会认真对待菲奥的惊人发现，并因此而推迟了他的 “研究、关怀和工作”，以便找到--或者重新找到--至关重要的配方？

因此，塔尔塔利亚不愿意透露他用来回答菲奥问题的求解过程，因为他担心梅塞尔-祖安纳会从中推断出形式为 x3 + bx = c 的三阶方程的求解公式。如前所述，当时数学家的习惯是不公布自己的成果；保守秘密有助于吸引学生，也是公开竞赛的武器。

塔尔塔利亚遵循了这一习惯，菲奥提到的那位不知名的 “伟大数学家 ”显然也是如此，如果他真的存在的话。

算法争论

费罗与塔尔塔利亚的贡献

1494年意大利数学家卢卡·帕西奥利在他的《算术、比例和几何总论》中列举了当时解三次方程的失败尝试，认为解三次方程或许是不可能的。1502年帕西奥利在博洛尼亚大学任教，曾与希皮奥内·德尔·费罗讨论过数学问题。若干年后费罗第一个解出了缺少二次项的正系数三次方程“x3+px=q”，但秘不示人。1526年去世前传给了学生菲奥尔。菲奥尔同样没有将其发表。

1530年布雷西亚的数学教师德科伊向塔尔塔利亚提出三次方程的问题。几年中塔尔塔利亚已经找到了缺少一次项的正系数三次方程“x3+px2=q”的一般解法，求得了正实根。菲奥尔听说塔尔塔利亚会解三次方程，要求公开竞赛。在竞赛前几天，塔尔塔利亚想出了缺少二次项的正系数三次方程的解法。

1535年2月22日塔尔塔利亚和菲奥尔在威尼斯进行公开竞赛，各自向对方提出30个问题。塔尔塔利亚在两个小时内解出了非奥尔的全部问题，而菲奥尔没解出塔尔塔利亚的问题 [2]。塔尔塔利亚因此扬名，但得胜的他放弃了竞赛的奖金。

卡尔达诺的介入

五年之后的1539年，吉罗拉莫·卡尔达诺正在米兰写《算术、几何和代数的实践》。德科伊的到访带来了塔尔塔利亚会三次方程解法的消息。卡尔达诺开始向塔尔塔利亚讨教三次方程的解法。塔尔塔利亚在卡尔达诺发誓保密的前提下、将三次方程的解法以暗语般的25行诗歌形式告诉了卡尔达诺 [3]。但塔尔塔利亚随即后悔了，对于卡尔达诺在通信中要求他进一步解释诗歌的要求予以了拒绝。8月份卡尔达诺在研究解法时发现了复数根，他写信询问塔尔塔利亚，塔尔塔利亚发觉卡尔达诺已经领会了解法，就在回信中称卡尔达诺的想法都是错的。

1540年卡尔达诺解出了三次方程，他的学生卢多维科·费拉里则在三次方程解法的解出上解出了四次方程。但限于卡尔达诺的誓言，两者均不能发表。1543年卡尔达诺和费拉里访问博洛尼亚，从费罗留下的手稿中得知费罗是第一个解出三次方程的人。卡尔达诺随即将三次方程和四次方程的解法在1545年出版的《大术》(Arsmagna)中将它们发表出去，书中提到了费罗是第一个解出三次方程的人，塔尔塔利亚独立发现了解法。

三次方程的求根公式也因此被称为卡尔达诺公式或卡当公式。

塔尔塔利亚与费拉里的论战

卡尔达诺的行为激怒了正埋头翻译、注释《几何原本》的塔尔塔利亚。

1546年塔尔塔利亚出版了一部题为《各种问题和发明》（Quesiti et inventioni diverse）的著作．其中以对话和书信等记实方式陈述了他与科伊、菲奥尔、卡尔达诺等人的交往经历和三次方程解法的发现过程，对卡尔达诺进行了攻击。卡尔达诺本人一直对塔尔塔利亚的攻击保持缄默，而费拉里则回击了塔尔塔利亚，两人通过信件争论了一年多。

1548年塔尔塔利亚的故乡布雷西亚提供给他一个教席，但为了证明自己够资格，他决定接受费拉里的公开进行数学决斗竞赛的要求

。1548年8月10日两人的竞赛在米兰大教堂附近举行，塔尔塔利亚称因听众和裁判不公，他第二天就返回了布雷西亚。费拉里在塔尔塔利亚缺席的情况下获胜。塔尔塔利亚回到家乡后教了一年数学，之后被告知他的教席被撤销了。他只得仍回威尼斯教学，他对卡尔达诺的怨恨终生未曾消解。

结论

以事后塔尔塔利亚的表现而言，他确实有才华和能力解出方程，而在他发现解题方法时并不一定知道费罗是第一个解出三次方程的人。

数学家毕竟也是普通人，他对卡尔达诺的怨恨终生未消，确实小心眼了点。