道光二十七年（公元1847年）三月，春寒料峭的京城，李鸿章怀着满腔热血和雄心壮志，再次走进了顺天贡院，准备参加丁未科的会试。这次考试对他意义非凡，因为在此之前，他已经拜曾国藩为师，专心苦练八股文章，深知这一场会试关乎自己的前程。因此，李鸿章的心中早已下定决心——这一次，非得一举成功。

根据会试的规定，考生需要首先在草稿纸上草拟答案，经过反复检查，确保没有差错后，再将答卷誊写到正式的试卷上。会试分为三场，但真正决定命运的，往往是第一场的表现。李鸿章自然不敢掉以轻心，他沉心静气，文思泉涌，笔端挥洒自如。经过两天的奋力拼搏，他终于将草稿打好了，剩下的就是第二天誊写了。眼看距离交卷的时间只剩下一天，李鸿章心情激动，觉得一切都在掌握之中。

然而，天有不测风云。就在考试的第二天晚上，李鸿章突然感到身体不适，微微发寒。虽然三月的京城天气尚冷，偶有考生因病未能参加考试，但这次李鸿章的病情显得格外严重。他的双手开始不受控制地颤抖，写字的动作愈加困难。此时，李鸿章的内心涌上一阵深深的无助和绝望，他不禁仰天长叹：“今科无望矣！”

他坐在号舍内，目光呆滞，心情极度沮丧，叹息声不时传出。正当他为无法完成这场关乎未来的考试而痛苦不已时，恰好引起了隔壁号舍江苏宜兴考生徐家杰的注意。会试期间，考场的气氛历来严肃紧张，考生们都专心致志地在考卷上奋笔疾书，四下无一丝喧嚣。然而，到了晚清时期，考场纪律逐渐松弛，考生四处走动、交头接耳的现象屡见不鲜。徐家杰不是第一次参加会试，自己誊写完了卷子，便起身走到李鸿章身旁，关切地询问他进展如何。

李鸿章看着徐家杰，神情疲惫，语气低沉地回答：“我只誊写了一篇，还有两篇草稿，来不及完成，现在提起笔来手就不停地发抖，无法再写下去。” 徐家杰听后深知李鸿章的处境，他十分理解士子十年寒窗苦读的心情，也不忍见他功败垂成。于是，他毫不犹豫地提议：“你把草稿拿出来，我替你誊写。” 李鸿章听到这个提议，心中顿时感激不已，虽然病痛让他力不从心，但徐家杰的援手无疑是雪中送炭。

没想到，在徐家杰的帮助下，李鸿章顺利地完成了会试，最终在五月举行的殿试中，名列二甲第十三，荣获进士。而徐家杰也凭借自己的实力，名列三甲第三十八，荣登榜眼之列。李鸿章通过这次考试后，亲自前往江苏会馆，特地向徐家杰表示感谢，并将他视为挚友，二人从此结下了深厚的友谊。

李鸿章随后被任命为翰林院庶吉士，虽然经历了数次波折，但他最终成为了位极人臣的大人物。而徐家杰则被任命为山东益都知县，虽在官场上有过波折，但始终未能升迁至更高的职务，一生都在县级职位上度过，直到退休时依然是个七品小官。

然而，命运的齿轮并未就此停滞。李鸿章在朝廷的地位逐渐权倾一方，成为慈禧太后的亲信，替徐家杰说几句话并不是什么难事。尽管如此，徐家杰却是一个刚直不阿、性格倔强的人，他始终认为，李鸿章的提拔之意有损士人的节操。根据一些野史记载，李鸿章在担任直隶总督兼北洋大臣时，曾多次写信暗示徐家杰接受提拔，但徐家杰坚决拒绝，认为这样会玷污自己的名誉。尽管如此，李鸿章和徐家杰之间的友情却始终未曾改变，二人始终保持着密切的联系。

光绪二十四年，李鸿章终于得到了偿还徐家杰旧恩的机会。那一年，慈禧太后与光绪帝之间的矛盾愈加尖锐，发生了震惊朝野的戊戌政变，光绪帝被软禁，维新派大臣纷纷落网。徐家杰的次子，徐致靖，因其深得光绪帝的宠信，一直是维新派的领袖人物，亦成为政变的头号目标。守旧派势力一心想除掉他，迫不及待地将其列入了罪名榜单。

政变发生后，徐家杰四处奔波，试图为儿子解围，但在此时，朝臣们都不敢涉足这片浑水，局势愈加紧张。在这生死关头，徐家杰没有选择放弃，而是亲自前往李鸿章府上，请求他为徐致靖周旋。此时的李鸿章虽已失去权力，但他的人脉和影响力依然不可小觑。听闻徐家杰的请求，李鸿章当即表示，无论如何也要保住徐致靖的性命。

李鸿章亲自找到了荣禄，恳请他为徐致靖向慈禧说情。荣禄与李鸿章素有深厚的交情，当然无法拒绝。当荣禄向慈禧太后解释，称光绪帝没有召见徐致靖是因为他有听力问题，且为保密才未见面时，慈禧虽然心存疑虑，但最终还是答应了放过徐致靖。

在李鸿章的努力下，徐致靖得以保住性命，渡过了这场劫难。事后，徐家杰再度亲自登门致谢，感谢李鸿章的恩情。两人的友谊也因此更加深厚，李鸿章的一次出手相助，成为了两家族之间情谊的象征。而这段历史，也被许多笔记和野史所记载，成为了清朝末期政坛上一个值得回味的故事。